domingo, 24 de marzo de 2013

¿Por qué las gotas de lluvia no nos aplastan?

Ha empezado a llover. Corriendo, Sergio se ha refugiado en un portal y mira impotente como las gotas estallan contra el suelo. De repente, una pregunta, ¿a qué velocidad caen las gotas de lluvia?

No parece una pregunta muy complicada de responder. Al fin y al cabo, Sergio todavía recuerda algunas lecciones de Física que estudió en el instituto y la memoria le alcanza como para recordar que la aceleración con la que caen los objetos al suelo es de 9,8 m/s . También sabe que las nubes suelen descargar en torno a los dos kilómetros al suelo, de modo que encuentra sencillo calcular la velocidad con la que caen las gotas de lluvia:



Esto equivale a más de setecientos kilómetros a la hora. Es mucho. Una barbaridad. Repite el cálculo de nuevo y llega al mismo resultado. No, no se ha equivocado y en su cabeza aparece un nuevo interrogante: "entonces, ¿por qué las gotas de lluvia no nos aplastan?".


Lo que el protagonista de esta historia no conoce es que cuando un cuerpo cae en el seno de un fluido, experimenta una fuerza de resistencia dada por la expresión


en la que:


 es el archiconocido número pi, con valor 3,1415159... ,
 es el radio del cuerpo que se mueve en el fluido, 
 es la velocidad con la que este cuerpo se mueve en el seno del fluido, y
 representa el coeficiente de viscosidad del fluido.

Esta interesante ecuación se conoce como ley de Stokes y nos ayudará a resolver el misterio planteado por Sergio.

Los fluidos tienen una propiedad muy interesante que se conoce como viscosidad, que mide la oposición de las capas del fluidos a moverse respecto a otras. Cuanto menor es la viscosidad, mayor es la fluidez, y viceversa. Es importante que entiendas bien que viscosidad y densidad (masa por unidad de volumen) no son sinónimos. De hecho, el aceite no es más denso que el agua, sino todo lo contrario: el aceite es menos denso que el agua pero más viscoso que ésta, de ahí que fluya peor el aceite que el agua.

Cuando Sergio calculó la velocidad con la que caen las gotas de agua, planteó un sistema de fuerzas como el de la figura.



En un sistema así, sólo existe la fuerza peso, igual al producto de la masa m por la aceleración de la gravedad g, de ahí que la gota de lluvia acelere de forma uniforme y alcance una velocidad tan elevada como la calculada al principio de este texto.

Sin embargo, un sistema como el que se representa más abajo sería más acorde con lo que realmente sucede.


Como ves, aparecen dos fuerzas "nuevas": la de empuje, proporcional al volumen de la gota y a la densidad del aire, y la de resistencia, que se calcula mediante la ley de Stokes. Como la densidad del aire es tan pequeña comparada con la densidad del agua, de momento vamos a ignorarla fuerza de empuje, de manera que la fuerza total que experimenta la gota de lluvia sería:


A medida que la gota de lluvia cae, su velocidad v va haciéndose mayor y la fuerza de resistencia se hace también mayor. Durante la caída, llega un momento en el que la fuerza de resistencia y la debida al peso se igualan


A partir de ese momento, la velocidad de caída ya no puede crecer más (¡las gotas caen al suelo!), de manera que alcanza un valor constante conocido como velocidad límite:



Poniendo la masa de la gota de lluvia en función de la densidad del agua (dagua) y recordando que las gotas de lluvia son esféricas, es fácil encontrar que la velocidad máxima con la que caen es:



O más correctamente si introducimos el término debido a la  fuerza de empuje:


Si suponemos una gota de lluvia de 0,5 mm de tamaño, e introducimos los datos necesarios, encontramos que la velocidad con la que caen las gotas de lluvia es de alrededor de 8 m/s ... afortunadamente.


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